INECUACIONES
Una
inecuación es una desigualdad que
contiene incógnitas o variables.
Desigualdad: relación matemática en la que se tiene en cuenta el orden de los
números. La figura 1 muestra los símbolos utilizados para denotar una
desigualdad. Por ejemplo, la desigualdad 3 < 10 indica que el número 3 es
menor que el 10; la desigualdad x2 ≥ 0 expresa el hecho de
que el cuadrado de cualquier número real es siempre mayor o igual que cero.
Figura 1: signos de
desigualdad
Una desigualdad es la
relación entre números, ecuaciones, propiedades geométricas u otras expresiones
que tienen valores distintos entre sí. Los signos que aparecen en esta tabla se
utilizan para comparar valores de expresiones matemáticas desiguales.
Las desigualdades aparecen a menudo al
describir áreas y volúmenes. Por ejemplo, si P es un punto cualquiera de
la diagonal del cuadrado de la figura 2, entonces el área de los dos
rectángulos sombreados en azul es siempre menor o igual que (≤) el área de los
dos cuadrados sombreados en rojo.
Figura 2: superficies
desiguales
En este gráfico, los
cuadrados rojos ocupan una superficie mayor que los rectángulos azules. Si el
punto P, vértice común a las cuatro figuras, se mueve a una posición diferente
en la diagonal del cuadrado total, las cuatro áreas cambian. Sin embargo, el
área total de los cuadrados rojos es siempre mayor o igual que el área total de
los rectángulos azules.
Si una desigualdad contiene incógnitas, se
denomina inecuación. Las soluciones de una inecuación como -2x +
6 > 0 son aquellos valores de la x para los que la expresión -2x
+ 6 es mayor que cero. Las reglas de resolución de ecuaciones del álgebra se
pueden utilizar para resolver inecuaciones,
con la condición de que el sentido de la desigualdad ha de invertirse si se
multiplica o divide por números negativos. Por tanto, para resolver la
inecuación -2x + 6 > 0, primero se resta 6 de ambos lados de la
desigualdad, con lo que se obtiene -2x > -6. A continuación se
dividen ambos lados de -2x > -6 por -2, sin olvidarse de invertir el
sentido de la desigualdad pues -2 es negativo. Esto da x < 3, lo que
significa que cualquier valor de x menor que 3 es una solución de -2x
+ 6 > 0.
LA SOLUCIÓN A ESTE SISTEMA ES LA INTERSECCIÓN
DE LAS REGIONES QUE CORRESPONDEN A LA SOLUCIÓN DE CADA INECUACIÓN.
1º
Representamos la región solución de la primera inecuación.
Transformamos
la desigualdad en igualdad.
2x + y = 3
Damos a una de
las dos variables dos valores, con lo que obtenemos dos puntos.
x = 0;
2 · 0 + y = 3; y = 3;
(0, 3)
x = 1;
2 · 1 + y = 3; y = 1;
(1, 1)
Al representar y unir estos puntos obtenemos una recta.
Tomamos un punto, por ejemplo el (0, 0), los sustituimos en la desigualdad.
Si se cumple, la
solución es el semiplano donde se encuentra el punto, si no la solución será el
otro semiplano.
2x + y ≤ 3
2 · 0 + 0 ≤
3 0 ≤ 3 Sí
2º
Representamos la región solución de la segunda inecuación.
x + y = 1
x = 0;
0 + y = 1; y = 1;
(0, 1)
x = 1;
1 + y = 1; y = 0;
(1, 0)
;
x + y ≥ 1
0 + 0 ≥ 1
No
3º
La solución es la intersección de las regiones soluciones.
Inecuaciones lineales con dos incógnitas
Una inecuación lineal con dos incógnitas es
una expresión de alguna de las formas siguientes:
Las inecuaciones lineales con dos incógnitas
se resuelven gráficamente ya que las soluciones son los puntos del semiplano en
el que queda dividido el plano por la recta que corresponde a la inecuación
considerado como igualdad. Esta recta o borde del semiplano no pertenecerá o sí
a la solución según la desigualdad sea estricta o no respectivamente. Para
saber cuál de los dos semiplanos es el que da la solución bastará tomar el
origen de coordenadas (si la recta no pasa por él) o cualquier otro punto de
coordenadas sencillas y comprobar si satisface o no la desigualdad, si lo hace,
el semiplano que contiene al punto de prueba es el correcto (lo indicaremos con
una flecha señalando hacia él), en caso contrario es el otro.
Ejemplo:
Resuelve la inecuación 3x+2y+5<0
Dibujamos la recta 3x+2y+5=0 sobre unos ejes
de coordenadas y comprobamos el punto O(0,0), que da:
Luego la solución es la zona sombreada de la
figura adjunta.
Programación lineal
Programación lineal,
técnica matemática y de investigación de operaciones que se utiliza en la
planificación administrativa y económica para maximizar las funciones lineales
de un gran número de variables sujetas a determinadas restricciones (véase Álgebra;
Función; Matemáticas). El desarrollo de computadoras electrónicas y de técnicas
de procesamiento de alta velocidad ha aportado recientemente muchos avances a
la programación lineal, de forma que ahora esta técnica se utiliza extensamente
en operaciones industriales y militares.
La programación
lineal se utiliza básicamente para hallar un conjunto de valores, elegidos a
partir de un conjunto de números dado, que maximizarán o minimizarán una forma
polinómica dada (véase Binomio). En el siguiente ejemplo se muestra un
tipo particular de problema y un método para solucionarlo. Un fabricante
produce dos variantes, V1 y V2, de un artículo que contiene piezas que se deben
cortar, ensamblar y acabar. El fabricante sabe que puede vender tantos
artículos como produzca. La variante V1 requiere 25 minutos de corte, 60
minutos de ensamblaje y 68 minutos de acabado, generando un beneficio de 30
dólares. La variante V2 requiere 75 minutos de corte, 60 minutos de ensamblaje
y 34 minutos de acabado, generando 40 dólares de beneficio. Cada día se dispone
de un máximo de 450 minutos de corte, 480 minutos de ensamblaje y 476 minutos
de acabado. ¿Cuántos artículos de cada variante deben fabricarse diariamente
para maximizar los beneficios?
Sean x e y
los números de artículos de las variedades V1 y V2, respectivamente, que deben
ser fabricados diariamente para maximizar los beneficios. Dado que x e y
no pueden ser números negativos,
Los datos de corte,
ensamblaje y acabado, determinan las siguientes igualdades y desigualdades:
En un gráfico, estas
desigualdades representan áreas bajo líneas dadas.
El problema radica en
hallar los valores de x e y que maximizarán el beneficio, si
existen, siempre que cumplan las restricciones (1) a (5).
Para satisfacer las
cinco condiciones, el punto que representa x e y debe hallarse en
el límite o en el interior de la región convexa poligónica OABCD de la figura
1.
El beneficio será
máximo eligiendo la línea definida por p =30 x + 40 y,
donde p se encuentra en el máximo y sólo roza la región OABCD superior,
es decir, la línea que atraviesa el vértice B (3,5). El fabricante ingresará
los máximos beneficios (290 dólares) produciendo 3 artículos de la variedad V1
y 5 artículos de la variedad V2 al día. Cualquier otra cantidad de ambas
variantes, dadas las restricciones en cuanto al tiempo, reducirá el beneficio.
Gráficas de inecuaciones lineales con dos variables
Ejemplos
Actividades interactivas
Sistemas de inecuaciones lineales con dos variables
Ejercicios resueltos
Gráficas de inecuaciones de segundo grado
INECUACIONES
Una
inecuación es una desigualdad que
contiene incógnitas o variables.
Desigualdad: relación matemática en la que se tiene en cuenta el orden de los
números. La figura 1 muestra los símbolos utilizados para denotar una
desigualdad. Por ejemplo, la desigualdad 3 < 10 indica que el número 3 es
menor que el 10; la desigualdad x2 ≥ 0 expresa el hecho de
que el cuadrado de cualquier número real es siempre mayor o igual que cero.
Figura 1: signos de
desigualdad
Una desigualdad es la
relación entre números, ecuaciones, propiedades geométricas u otras expresiones
que tienen valores distintos entre sí. Los signos que aparecen en esta tabla se
utilizan para comparar valores de expresiones matemáticas desiguales.
Las desigualdades aparecen a menudo al
describir áreas y volúmenes. Por ejemplo, si P es un punto cualquiera de
la diagonal del cuadrado de la figura 2, entonces el área de los dos
rectángulos sombreados en azul es siempre menor o igual que (≤) el área de los
dos cuadrados sombreados en rojo.
Figura 2: superficies
desiguales
En este gráfico, los
cuadrados rojos ocupan una superficie mayor que los rectángulos azules. Si el
punto P, vértice común a las cuatro figuras, se mueve a una posición diferente
en la diagonal del cuadrado total, las cuatro áreas cambian. Sin embargo, el
área total de los cuadrados rojos es siempre mayor o igual que el área total de
los rectángulos azules.
Si una desigualdad contiene incógnitas, se
denomina inecuación. Las soluciones de una inecuación como -2x +
6 > 0 son aquellos valores de la x para los que la expresión -2x
+ 6 es mayor que cero. Las reglas de resolución de ecuaciones del álgebra se
pueden utilizar para resolver inecuaciones,
con la condición de que el sentido de la desigualdad ha de invertirse si se
multiplica o divide por números negativos. Por tanto, para resolver la
inecuación -2x + 6 > 0, primero se resta 6 de ambos lados de la
desigualdad, con lo que se obtiene -2x > -6. A continuación se
dividen ambos lados de -2x > -6 por -2, sin olvidarse de invertir el
sentido de la desigualdad pues -2 es negativo. Esto da x < 3, lo que
significa que cualquier valor de x menor que 3 es una solución de -2x
+ 6 > 0.
LA SOLUCIÓN A ESTE SISTEMA ES LA INTERSECCIÓN
DE LAS REGIONES QUE CORRESPONDEN A LA SOLUCIÓN DE CADA INECUACIÓN.
1º
Representamos la región solución de la primera inecuación.
Transformamos
la desigualdad en igualdad.
2x + y = 3
Damos a una de
las dos variables dos valores, con lo que obtenemos dos puntos.
x = 0;
2 · 0 + y = 3; y = 3;
(0, 3)
x = 1;
2 · 1 + y = 3; y = 1;
(1, 1)
Al representar y unir estos puntos obtenemos una recta.
Tomamos un punto, por ejemplo el (0, 0), los sustituimos en la desigualdad.
Si se cumple, la
solución es el semiplano donde se encuentra el punto, si no la solución será el
otro semiplano.
2x + y ≤ 3
2 · 0 + 0 ≤
3 0 ≤ 3 Sí
2º
Representamos la región solución de la segunda inecuación.
x + y = 1
x = 0;
0 + y = 1; y = 1;
(0, 1)
x = 1;
1 + y = 1; y = 0;
(1, 0)
;
x + y ≥ 1
0 + 0 ≥ 1
No
3º
La solución es la intersección de las regiones soluciones.
Inecuaciones lineales con dos incógnitas
Una inecuación lineal con dos incógnitas es
una expresión de alguna de las formas siguientes:
Las inecuaciones lineales con dos incógnitas
se resuelven gráficamente ya que las soluciones son los puntos del semiplano en
el que queda dividido el plano por la recta que corresponde a la inecuación
considerado como igualdad. Esta recta o borde del semiplano no pertenecerá o sí
a la solución según la desigualdad sea estricta o no respectivamente. Para
saber cuál de los dos semiplanos es el que da la solución bastará tomar el
origen de coordenadas (si la recta no pasa por él) o cualquier otro punto de
coordenadas sencillas y comprobar si satisface o no la desigualdad, si lo hace,
el semiplano que contiene al punto de prueba es el correcto (lo indicaremos con
una flecha señalando hacia él), en caso contrario es el otro.
Ejemplo:
Resuelve la inecuación 3x+2y+5<0
Dibujamos la recta 3x+2y+5=0 sobre unos ejes
de coordenadas y comprobamos el punto O(0,0), que da:
Luego la solución es la zona sombreada de la
figura adjunta.
Programación lineal
Programación lineal,
técnica matemática y de investigación de operaciones que se utiliza en la
planificación administrativa y económica para maximizar las funciones lineales
de un gran número de variables sujetas a determinadas restricciones (véase Álgebra;
Función; Matemáticas). El desarrollo de computadoras electrónicas y de técnicas
de procesamiento de alta velocidad ha aportado recientemente muchos avances a
la programación lineal, de forma que ahora esta técnica se utiliza extensamente
en operaciones industriales y militares.
La programación
lineal se utiliza básicamente para hallar un conjunto de valores, elegidos a
partir de un conjunto de números dado, que maximizarán o minimizarán una forma
polinómica dada (véase Binomio). En el siguiente ejemplo se muestra un
tipo particular de problema y un método para solucionarlo. Un fabricante
produce dos variantes, V1 y V2, de un artículo que contiene piezas que se deben
cortar, ensamblar y acabar. El fabricante sabe que puede vender tantos
artículos como produzca. La variante V1 requiere 25 minutos de corte, 60
minutos de ensamblaje y 68 minutos de acabado, generando un beneficio de 30
dólares. La variante V2 requiere 75 minutos de corte, 60 minutos de ensamblaje
y 34 minutos de acabado, generando 40 dólares de beneficio. Cada día se dispone
de un máximo de 450 minutos de corte, 480 minutos de ensamblaje y 476 minutos
de acabado. ¿Cuántos artículos de cada variante deben fabricarse diariamente
para maximizar los beneficios?
Sean x e y
los números de artículos de las variedades V1 y V2, respectivamente, que deben
ser fabricados diariamente para maximizar los beneficios. Dado que x e y
no pueden ser números negativos,
Los datos de corte,
ensamblaje y acabado, determinan las siguientes igualdades y desigualdades:
En un gráfico, estas
desigualdades representan áreas bajo líneas dadas.
El problema radica en
hallar los valores de x e y que maximizarán el beneficio, si
existen, siempre que cumplan las restricciones (1) a (5).
Para satisfacer las
cinco condiciones, el punto que representa x e y debe hallarse en
el límite o en el interior de la región convexa poligónica OABCD de la figura
1.
El beneficio será
máximo eligiendo la línea definida por p =30 x + 40 y,
donde p se encuentra en el máximo y sólo roza la región OABCD superior,
es decir, la línea que atraviesa el vértice B (3,5). El fabricante ingresará
los máximos beneficios (290 dólares) produciendo 3 artículos de la variedad V1
y 5 artículos de la variedad V2 al día. Cualquier otra cantidad de ambas
variantes, dadas las restricciones en cuanto al tiempo, reducirá el beneficio.
Gráficas de inecuaciones lineales con dos variables
Ejemplos
Actividades interactivas
Sistemas de inecuaciones lineales con dos variables
Ejercicios resueltos
Gráficas de inecuaciones de segundo grado
INECUACIONES
Una
inecuación es una desigualdad que
contiene incógnitas o variables.
Desigualdad: relación matemática en la que se tiene en cuenta el orden de los
números. La figura 1 muestra los símbolos utilizados para denotar una
desigualdad. Por ejemplo, la desigualdad 3 < 10 indica que el número 3 es
menor que el 10; la desigualdad x2 ≥ 0 expresa el hecho de
que el cuadrado de cualquier número real es siempre mayor o igual que cero.
Figura 1: signos de
desigualdad
Una desigualdad es la
relación entre números, ecuaciones, propiedades geométricas u otras expresiones
que tienen valores distintos entre sí. Los signos que aparecen en esta tabla se
utilizan para comparar valores de expresiones matemáticas desiguales.
Las desigualdades aparecen a menudo al
describir áreas y volúmenes. Por ejemplo, si P es un punto cualquiera de
la diagonal del cuadrado de la figura 2, entonces el área de los dos
rectángulos sombreados en azul es siempre menor o igual que (≤) el área de los
dos cuadrados sombreados en rojo.
Figura 2: superficies
desiguales
En este gráfico, los
cuadrados rojos ocupan una superficie mayor que los rectángulos azules. Si el
punto P, vértice común a las cuatro figuras, se mueve a una posición diferente
en la diagonal del cuadrado total, las cuatro áreas cambian. Sin embargo, el
área total de los cuadrados rojos es siempre mayor o igual que el área total de
los rectángulos azules.
Si una desigualdad contiene incógnitas, se
denomina inecuación. Las soluciones de una inecuación como -2x +
6 > 0 son aquellos valores de la x para los que la expresión -2x
+ 6 es mayor que cero. Las reglas de resolución de ecuaciones del álgebra se
pueden utilizar para resolver inecuaciones,
con la condición de que el sentido de la desigualdad ha de invertirse si se
multiplica o divide por números negativos. Por tanto, para resolver la
inecuación -2x + 6 > 0, primero se resta 6 de ambos lados de la
desigualdad, con lo que se obtiene -2x > -6. A continuación se
dividen ambos lados de -2x > -6 por -2, sin olvidarse de invertir el
sentido de la desigualdad pues -2 es negativo. Esto da x < 3, lo que
significa que cualquier valor de x menor que 3 es una solución de -2x
+ 6 > 0.
LA SOLUCIÓN A ESTE SISTEMA ES LA INTERSECCIÓN
DE LAS REGIONES QUE CORRESPONDEN A LA SOLUCIÓN DE CADA INECUACIÓN.
1º
Representamos la región solución de la primera inecuación.
Transformamos
la desigualdad en igualdad.
2x + y = 3
Damos a una de
las dos variables dos valores, con lo que obtenemos dos puntos.
x = 0;
2 · 0 + y = 3; y = 3;
(0, 3)
x = 1;
2 · 1 + y = 3; y = 1;
(1, 1)
Al representar y unir estos puntos obtenemos una recta.
Tomamos un punto, por ejemplo el (0, 0), los sustituimos en la desigualdad.
Si se cumple, la
solución es el semiplano donde se encuentra el punto, si no la solución será el
otro semiplano.
2x + y ≤ 3
2 · 0 + 0 ≤
3 0 ≤ 3 Sí
2º
Representamos la región solución de la segunda inecuación.
x + y = 1
x = 0;
0 + y = 1; y = 1;
(0, 1)
x = 1;
1 + y = 1; y = 0;
(1, 0)
;
x + y ≥ 1
0 + 0 ≥ 1
No
3º
La solución es la intersección de las regiones soluciones.
Inecuaciones lineales con dos incógnitas
Una inecuación lineal con dos incógnitas es
una expresión de alguna de las formas siguientes:
Las inecuaciones lineales con dos incógnitas
se resuelven gráficamente ya que las soluciones son los puntos del semiplano en
el que queda dividido el plano por la recta que corresponde a la inecuación
considerado como igualdad. Esta recta o borde del semiplano no pertenecerá o sí
a la solución según la desigualdad sea estricta o no respectivamente. Para
saber cuál de los dos semiplanos es el que da la solución bastará tomar el
origen de coordenadas (si la recta no pasa por él) o cualquier otro punto de
coordenadas sencillas y comprobar si satisface o no la desigualdad, si lo hace,
el semiplano que contiene al punto de prueba es el correcto (lo indicaremos con
una flecha señalando hacia él), en caso contrario es el otro.
Ejemplo:
Resuelve la inecuación 3x+2y+5<0
Dibujamos la recta 3x+2y+5=0 sobre unos ejes
de coordenadas y comprobamos el punto O(0,0), que da:
Luego la solución es la zona sombreada de la
figura adjunta.
Programación lineal
Programación lineal,
técnica matemática y de investigación de operaciones que se utiliza en la
planificación administrativa y económica para maximizar las funciones lineales
de un gran número de variables sujetas a determinadas restricciones (véase Álgebra;
Función; Matemáticas). El desarrollo de computadoras electrónicas y de técnicas
de procesamiento de alta velocidad ha aportado recientemente muchos avances a
la programación lineal, de forma que ahora esta técnica se utiliza extensamente
en operaciones industriales y militares.
La programación
lineal se utiliza básicamente para hallar un conjunto de valores, elegidos a
partir de un conjunto de números dado, que maximizarán o minimizarán una forma
polinómica dada (véase Binomio). En el siguiente ejemplo se muestra un
tipo particular de problema y un método para solucionarlo. Un fabricante
produce dos variantes, V1 y V2, de un artículo que contiene piezas que se deben
cortar, ensamblar y acabar. El fabricante sabe que puede vender tantos
artículos como produzca. La variante V1 requiere 25 minutos de corte, 60
minutos de ensamblaje y 68 minutos de acabado, generando un beneficio de 30
dólares. La variante V2 requiere 75 minutos de corte, 60 minutos de ensamblaje
y 34 minutos de acabado, generando 40 dólares de beneficio. Cada día se dispone
de un máximo de 450 minutos de corte, 480 minutos de ensamblaje y 476 minutos
de acabado. ¿Cuántos artículos de cada variante deben fabricarse diariamente
para maximizar los beneficios?
Sean x e y
los números de artículos de las variedades V1 y V2, respectivamente, que deben
ser fabricados diariamente para maximizar los beneficios. Dado que x e y
no pueden ser números negativos,
Los datos de corte,
ensamblaje y acabado, determinan las siguientes igualdades y desigualdades:
En un gráfico, estas
desigualdades representan áreas bajo líneas dadas.
El problema radica en
hallar los valores de x e y que maximizarán el beneficio, si
existen, siempre que cumplan las restricciones (1) a (5).
Para satisfacer las
cinco condiciones, el punto que representa x e y debe hallarse en
el límite o en el interior de la región convexa poligónica OABCD de la figura
1.
El beneficio será
máximo eligiendo la línea definida por p =30 x + 40 y,
donde p se encuentra en el máximo y sólo roza la región OABCD superior,
es decir, la línea que atraviesa el vértice B (3,5). El fabricante ingresará
los máximos beneficios (290 dólares) produciendo 3 artículos de la variedad V1
y 5 artículos de la variedad V2 al día. Cualquier otra cantidad de ambas
variantes, dadas las restricciones en cuanto al tiempo, reducirá el beneficio.
Gráficas de inecuaciones lineales con dos variables
Ejemplos
Actividades interactivas
Sistemas de inecuaciones lineales con dos variables
Ejercicios resueltos
Gráficas de inecuaciones de segundo grado
INECUACIONES
Una
inecuación es una desigualdad que
contiene incógnitas o variables.
Desigualdad: relación matemática en la que se tiene en cuenta el orden de los
números. La figura 1 muestra los símbolos utilizados para denotar una
desigualdad. Por ejemplo, la desigualdad 3 < 10 indica que el número 3 es
menor que el 10; la desigualdad x2 ≥ 0 expresa el hecho de
que el cuadrado de cualquier número real es siempre mayor o igual que cero.
Figura 1: signos de
desigualdad
Una desigualdad es la
relación entre números, ecuaciones, propiedades geométricas u otras expresiones
que tienen valores distintos entre sí. Los signos que aparecen en esta tabla se
utilizan para comparar valores de expresiones matemáticas desiguales.
Las desigualdades aparecen a menudo al
describir áreas y volúmenes. Por ejemplo, si P es un punto cualquiera de
la diagonal del cuadrado de la figura 2, entonces el área de los dos
rectángulos sombreados en azul es siempre menor o igual que (≤) el área de los
dos cuadrados sombreados en rojo.
Figura 2: superficies
desiguales
En este gráfico, los
cuadrados rojos ocupan una superficie mayor que los rectángulos azules. Si el
punto P, vértice común a las cuatro figuras, se mueve a una posición diferente
en la diagonal del cuadrado total, las cuatro áreas cambian. Sin embargo, el
área total de los cuadrados rojos es siempre mayor o igual que el área total de
los rectángulos azules.
Si una desigualdad contiene incógnitas, se
denomina inecuación. Las soluciones de una inecuación como -2x +
6 > 0 son aquellos valores de la x para los que la expresión -2x
+ 6 es mayor que cero. Las reglas de resolución de ecuaciones del álgebra se
pueden utilizar para resolver inecuaciones,
con la condición de que el sentido de la desigualdad ha de invertirse si se
multiplica o divide por números negativos. Por tanto, para resolver la
inecuación -2x + 6 > 0, primero se resta 6 de ambos lados de la
desigualdad, con lo que se obtiene -2x > -6. A continuación se
dividen ambos lados de -2x > -6 por -2, sin olvidarse de invertir el
sentido de la desigualdad pues -2 es negativo. Esto da x < 3, lo que
significa que cualquier valor de x menor que 3 es una solución de -2x
+ 6 > 0.
LA SOLUCIÓN A ESTE SISTEMA ES LA INTERSECCIÓN
DE LAS REGIONES QUE CORRESPONDEN A LA SOLUCIÓN DE CADA INECUACIÓN.
1º
Representamos la región solución de la primera inecuación.
Transformamos
la desigualdad en igualdad.
2x + y = 3
Damos a una de
las dos variables dos valores, con lo que obtenemos dos puntos.
x = 0;
2 · 0 + y = 3; y = 3;
(0, 3)
x = 1;
2 · 1 + y = 3; y = 1;
(1, 1)
Al representar y unir estos puntos obtenemos una recta.
Tomamos un punto, por ejemplo el (0, 0), los sustituimos en la desigualdad.
Si se cumple, la
solución es el semiplano donde se encuentra el punto, si no la solución será el
otro semiplano.
2x + y ≤ 3
2 · 0 + 0 ≤
3 0 ≤ 3 Sí
2º
Representamos la región solución de la segunda inecuación.
x + y = 1
x = 0;
0 + y = 1; y = 1;
(0, 1)
x = 1;
1 + y = 1; y = 0;
(1, 0)
;
x + y ≥ 1
0 + 0 ≥ 1
No
3º
La solución es la intersección de las regiones soluciones.
Inecuaciones lineales con dos incógnitas
Una inecuación lineal con dos incógnitas es
una expresión de alguna de las formas siguientes:
Las inecuaciones lineales con dos incógnitas
se resuelven gráficamente ya que las soluciones son los puntos del semiplano en
el que queda dividido el plano por la recta que corresponde a la inecuación
considerado como igualdad. Esta recta o borde del semiplano no pertenecerá o sí
a la solución según la desigualdad sea estricta o no respectivamente. Para
saber cuál de los dos semiplanos es el que da la solución bastará tomar el
origen de coordenadas (si la recta no pasa por él) o cualquier otro punto de
coordenadas sencillas y comprobar si satisface o no la desigualdad, si lo hace,
el semiplano que contiene al punto de prueba es el correcto (lo indicaremos con
una flecha señalando hacia él), en caso contrario es el otro.
Ejemplo:
Resuelve la inecuación 3x+2y+5<0
Dibujamos la recta 3x+2y+5=0 sobre unos ejes
de coordenadas y comprobamos el punto O(0,0), que da:
Luego la solución es la zona sombreada de la
figura adjunta.
Programación lineal
Programación lineal,
técnica matemática y de investigación de operaciones que se utiliza en la
planificación administrativa y económica para maximizar las funciones lineales
de un gran número de variables sujetas a determinadas restricciones (véase Álgebra;
Función; Matemáticas). El desarrollo de computadoras electrónicas y de técnicas
de procesamiento de alta velocidad ha aportado recientemente muchos avances a
la programación lineal, de forma que ahora esta técnica se utiliza extensamente
en operaciones industriales y militares.
La programación
lineal se utiliza básicamente para hallar un conjunto de valores, elegidos a
partir de un conjunto de números dado, que maximizarán o minimizarán una forma
polinómica dada (véase Binomio). En el siguiente ejemplo se muestra un
tipo particular de problema y un método para solucionarlo. Un fabricante
produce dos variantes, V1 y V2, de un artículo que contiene piezas que se deben
cortar, ensamblar y acabar. El fabricante sabe que puede vender tantos
artículos como produzca. La variante V1 requiere 25 minutos de corte, 60
minutos de ensamblaje y 68 minutos de acabado, generando un beneficio de 30
dólares. La variante V2 requiere 75 minutos de corte, 60 minutos de ensamblaje
y 34 minutos de acabado, generando 40 dólares de beneficio. Cada día se dispone
de un máximo de 450 minutos de corte, 480 minutos de ensamblaje y 476 minutos
de acabado. ¿Cuántos artículos de cada variante deben fabricarse diariamente
para maximizar los beneficios?
Sean x e y
los números de artículos de las variedades V1 y V2, respectivamente, que deben
ser fabricados diariamente para maximizar los beneficios. Dado que x e y
no pueden ser números negativos,
Los datos de corte,
ensamblaje y acabado, determinan las siguientes igualdades y desigualdades:
En un gráfico, estas
desigualdades representan áreas bajo líneas dadas.
El problema radica en
hallar los valores de x e y que maximizarán el beneficio, si
existen, siempre que cumplan las restricciones (1) a (5).
Para satisfacer las
cinco condiciones, el punto que representa x e y debe hallarse en
el límite o en el interior de la región convexa poligónica OABCD de la figura
1.
El beneficio será
máximo eligiendo la línea definida por p =30 x + 40 y,
donde p se encuentra en el máximo y sólo roza la región OABCD superior,
es decir, la línea que atraviesa el vértice B (3,5). El fabricante ingresará
los máximos beneficios (290 dólares) produciendo 3 artículos de la variedad V1
y 5 artículos de la variedad V2 al día. Cualquier otra cantidad de ambas
variantes, dadas las restricciones en cuanto al tiempo, reducirá el beneficio.
Gráficas de inecuaciones lineales con dos variables
Ejemplos
Actividades interactivas
Sistemas de inecuaciones lineales con dos variables
Ejercicios resueltos
Gráficas de inecuaciones de segundo grado
INECUACIONES
Una
inecuación es una desigualdad que
contiene incógnitas o variables.
Desigualdad: relación matemática en la que se tiene en cuenta el orden de los
números. La figura 1 muestra los símbolos utilizados para denotar una
desigualdad. Por ejemplo, la desigualdad 3 < 10 indica que el número 3 es
menor que el 10; la desigualdad x2 ≥ 0 expresa el hecho de
que el cuadrado de cualquier número real es siempre mayor o igual que cero.
Figura 1: signos de
desigualdad
Una desigualdad es la
relación entre números, ecuaciones, propiedades geométricas u otras expresiones
que tienen valores distintos entre sí. Los signos que aparecen en esta tabla se
utilizan para comparar valores de expresiones matemáticas desiguales.
Las desigualdades aparecen a menudo al
describir áreas y volúmenes. Por ejemplo, si P es un punto cualquiera de
la diagonal del cuadrado de la figura 2, entonces el área de los dos
rectángulos sombreados en azul es siempre menor o igual que (≤) el área de los
dos cuadrados sombreados en rojo.
Figura 2: superficies
desiguales
En este gráfico, los
cuadrados rojos ocupan una superficie mayor que los rectángulos azules. Si el
punto P, vértice común a las cuatro figuras, se mueve a una posición diferente
en la diagonal del cuadrado total, las cuatro áreas cambian. Sin embargo, el
área total de los cuadrados rojos es siempre mayor o igual que el área total de
los rectángulos azules.
Si una desigualdad contiene incógnitas, se
denomina inecuación. Las soluciones de una inecuación como -2x +
6 > 0 son aquellos valores de la x para los que la expresión -2x
+ 6 es mayor que cero. Las reglas de resolución de ecuaciones del álgebra se
pueden utilizar para resolver inecuaciones,
con la condición de que el sentido de la desigualdad ha de invertirse si se
multiplica o divide por números negativos. Por tanto, para resolver la
inecuación -2x + 6 > 0, primero se resta 6 de ambos lados de la
desigualdad, con lo que se obtiene -2x > -6. A continuación se
dividen ambos lados de -2x > -6 por -2, sin olvidarse de invertir el
sentido de la desigualdad pues -2 es negativo. Esto da x < 3, lo que
significa que cualquier valor de x menor que 3 es una solución de -2x
+ 6 > 0.
LA SOLUCIÓN A ESTE SISTEMA ES LA INTERSECCIÓN
DE LAS REGIONES QUE CORRESPONDEN A LA SOLUCIÓN DE CADA INECUACIÓN.
1º
Representamos la región solución de la primera inecuación.
Transformamos
la desigualdad en igualdad.
2x + y = 3
Damos a una de
las dos variables dos valores, con lo que obtenemos dos puntos.
x = 0;
2 · 0 + y = 3; y = 3;
(0, 3)
x = 1;
2 · 1 + y = 3; y = 1;
(1, 1)
Al representar y unir estos puntos obtenemos una recta.
Tomamos un punto, por ejemplo el (0, 0), los sustituimos en la desigualdad.
Si se cumple, la
solución es el semiplano donde se encuentra el punto, si no la solución será el
otro semiplano.
2x + y ≤ 3
2 · 0 + 0 ≤
3 0 ≤ 3 Sí
2º
Representamos la región solución de la segunda inecuación.
x + y = 1
x = 0;
0 + y = 1; y = 1;
(0, 1)
x = 1;
1 + y = 1; y = 0;
(1, 0)
;
x + y ≥ 1
0 + 0 ≥ 1
No
3º
La solución es la intersección de las regiones soluciones.
Inecuaciones lineales con dos incógnitas
Una inecuación lineal con dos incógnitas es
una expresión de alguna de las formas siguientes:
Las inecuaciones lineales con dos incógnitas
se resuelven gráficamente ya que las soluciones son los puntos del semiplano en
el que queda dividido el plano por la recta que corresponde a la inecuación
considerado como igualdad. Esta recta o borde del semiplano no pertenecerá o sí
a la solución según la desigualdad sea estricta o no respectivamente. Para
saber cuál de los dos semiplanos es el que da la solución bastará tomar el
origen de coordenadas (si la recta no pasa por él) o cualquier otro punto de
coordenadas sencillas y comprobar si satisface o no la desigualdad, si lo hace,
el semiplano que contiene al punto de prueba es el correcto (lo indicaremos con
una flecha señalando hacia él), en caso contrario es el otro.
Ejemplo:
Resuelve la inecuación 3x+2y+5<0
Dibujamos la recta 3x+2y+5=0 sobre unos ejes
de coordenadas y comprobamos el punto O(0,0), que da:
Luego la solución es la zona sombreada de la
figura adjunta.
Programación lineal
Programación lineal,
técnica matemática y de investigación de operaciones que se utiliza en la
planificación administrativa y económica para maximizar las funciones lineales
de un gran número de variables sujetas a determinadas restricciones (véase Álgebra;
Función; Matemáticas). El desarrollo de computadoras electrónicas y de técnicas
de procesamiento de alta velocidad ha aportado recientemente muchos avances a
la programación lineal, de forma que ahora esta técnica se utiliza extensamente
en operaciones industriales y militares.
La programación
lineal se utiliza básicamente para hallar un conjunto de valores, elegidos a
partir de un conjunto de números dado, que maximizarán o minimizarán una forma
polinómica dada (véase Binomio). En el siguiente ejemplo se muestra un
tipo particular de problema y un método para solucionarlo. Un fabricante
produce dos variantes, V1 y V2, de un artículo que contiene piezas que se deben
cortar, ensamblar y acabar. El fabricante sabe que puede vender tantos
artículos como produzca. La variante V1 requiere 25 minutos de corte, 60
minutos de ensamblaje y 68 minutos de acabado, generando un beneficio de 30
dólares. La variante V2 requiere 75 minutos de corte, 60 minutos de ensamblaje
y 34 minutos de acabado, generando 40 dólares de beneficio. Cada día se dispone
de un máximo de 450 minutos de corte, 480 minutos de ensamblaje y 476 minutos
de acabado. ¿Cuántos artículos de cada variante deben fabricarse diariamente
para maximizar los beneficios?
Sean x e y
los números de artículos de las variedades V1 y V2, respectivamente, que deben
ser fabricados diariamente para maximizar los beneficios. Dado que x e y
no pueden ser números negativos,
Los datos de corte,
ensamblaje y acabado, determinan las siguientes igualdades y desigualdades:
En un gráfico, estas
desigualdades representan áreas bajo líneas dadas.
El problema radica en
hallar los valores de x e y que maximizarán el beneficio, si
existen, siempre que cumplan las restricciones (1) a (5).
Para satisfacer las
cinco condiciones, el punto que representa x e y debe hallarse en
el límite o en el interior de la región convexa poligónica OABCD de la figura
1.
El beneficio será
máximo eligiendo la línea definida por p =30 x + 40 y,
donde p se encuentra en el máximo y sólo roza la región OABCD superior,
es decir, la línea que atraviesa el vértice B (3,5). El fabricante ingresará
los máximos beneficios (290 dólares) produciendo 3 artículos de la variedad V1
y 5 artículos de la variedad V2 al día. Cualquier otra cantidad de ambas
variantes, dadas las restricciones en cuanto al tiempo, reducirá el beneficio.
Gráficas de inecuaciones lineales con dos variables
Ejemplos
Actividades interactivas
Sistemas de inecuaciones lineales con dos variables
Ejercicios resueltos
Gráficas de inecuaciones de segundo grado
INECUACIONES
Una
inecuación es una desigualdad que
contiene incógnitas o variables.
Desigualdad: relación matemática en la que se tiene en cuenta el orden de los
números. La figura 1 muestra los símbolos utilizados para denotar una
desigualdad. Por ejemplo, la desigualdad 3 < 10 indica que el número 3 es
menor que el 10; la desigualdad x2 ≥ 0 expresa el hecho de
que el cuadrado de cualquier número real es siempre mayor o igual que cero.
Figura 1: signos de
desigualdad
Una desigualdad es la
relación entre números, ecuaciones, propiedades geométricas u otras expresiones
que tienen valores distintos entre sí. Los signos que aparecen en esta tabla se
utilizan para comparar valores de expresiones matemáticas desiguales.
Las desigualdades aparecen a menudo al
describir áreas y volúmenes. Por ejemplo, si P es un punto cualquiera de
la diagonal del cuadrado de la figura 2, entonces el área de los dos
rectángulos sombreados en azul es siempre menor o igual que (≤) el área de los
dos cuadrados sombreados en rojo.
Figura 2: superficies
desiguales
En este gráfico, los
cuadrados rojos ocupan una superficie mayor que los rectángulos azules. Si el
punto P, vértice común a las cuatro figuras, se mueve a una posición diferente
en la diagonal del cuadrado total, las cuatro áreas cambian. Sin embargo, el
área total de los cuadrados rojos es siempre mayor o igual que el área total de
los rectángulos azules.
Si una desigualdad contiene incógnitas, se
denomina inecuación. Las soluciones de una inecuación como -2x +
6 > 0 son aquellos valores de la x para los que la expresión -2x
+ 6 es mayor que cero. Las reglas de resolución de ecuaciones del álgebra se
pueden utilizar para resolver inecuaciones,
con la condición de que el sentido de la desigualdad ha de invertirse si se
multiplica o divide por números negativos. Por tanto, para resolver la
inecuación -2x + 6 > 0, primero se resta 6 de ambos lados de la
desigualdad, con lo que se obtiene -2x > -6. A continuación se
dividen ambos lados de -2x > -6 por -2, sin olvidarse de invertir el
sentido de la desigualdad pues -2 es negativo. Esto da x < 3, lo que
significa que cualquier valor de x menor que 3 es una solución de -2x
+ 6 > 0.
LA SOLUCIÓN A ESTE SISTEMA ES LA INTERSECCIÓN
DE LAS REGIONES QUE CORRESPONDEN A LA SOLUCIÓN DE CADA INECUACIÓN.
1º
Representamos la región solución de la primera inecuación.
Transformamos
la desigualdad en igualdad.
2x + y = 3
Damos a una de
las dos variables dos valores, con lo que obtenemos dos puntos.
x = 0;
2 · 0 + y = 3; y = 3;
(0, 3)
x = 1;
2 · 1 + y = 3; y = 1;
(1, 1)
Al representar y unir estos puntos obtenemos una recta.
Tomamos un punto, por ejemplo el (0, 0), los sustituimos en la desigualdad.
Si se cumple, la
solución es el semiplano donde se encuentra el punto, si no la solución será el
otro semiplano.
2x + y ≤ 3
2 · 0 + 0 ≤
3 0 ≤ 3 Sí
2º
Representamos la región solución de la segunda inecuación.
x + y = 1
x = 0;
0 + y = 1; y = 1;
(0, 1)
x = 1;
1 + y = 1; y = 0;
(1, 0)
;
x + y ≥ 1
0 + 0 ≥ 1
No
3º
La solución es la intersección de las regiones soluciones.
Inecuaciones lineales con dos incógnitas
Una inecuación lineal con dos incógnitas es
una expresión de alguna de las formas siguientes:
Las inecuaciones lineales con dos incógnitas
se resuelven gráficamente ya que las soluciones son los puntos del semiplano en
el que queda dividido el plano por la recta que corresponde a la inecuación
considerado como igualdad. Esta recta o borde del semiplano no pertenecerá o sí
a la solución según la desigualdad sea estricta o no respectivamente. Para
saber cuál de los dos semiplanos es el que da la solución bastará tomar el
origen de coordenadas (si la recta no pasa por él) o cualquier otro punto de
coordenadas sencillas y comprobar si satisface o no la desigualdad, si lo hace,
el semiplano que contiene al punto de prueba es el correcto (lo indicaremos con
una flecha señalando hacia él), en caso contrario es el otro.
Ejemplo:
Resuelve la inecuación 3x+2y+5<0
Dibujamos la recta 3x+2y+5=0 sobre unos ejes
de coordenadas y comprobamos el punto O(0,0), que da:
Luego la solución es la zona sombreada de la
figura adjunta.
Programación lineal
Programación lineal,
técnica matemática y de investigación de operaciones que se utiliza en la
planificación administrativa y económica para maximizar las funciones lineales
de un gran número de variables sujetas a determinadas restricciones (véase Álgebra;
Función; Matemáticas). El desarrollo de computadoras electrónicas y de técnicas
de procesamiento de alta velocidad ha aportado recientemente muchos avances a
la programación lineal, de forma que ahora esta técnica se utiliza extensamente
en operaciones industriales y militares.
La programación
lineal se utiliza básicamente para hallar un conjunto de valores, elegidos a
partir de un conjunto de números dado, que maximizarán o minimizarán una forma
polinómica dada (véase Binomio). En el siguiente ejemplo se muestra un
tipo particular de problema y un método para solucionarlo. Un fabricante
produce dos variantes, V1 y V2, de un artículo que contiene piezas que se deben
cortar, ensamblar y acabar. El fabricante sabe que puede vender tantos
artículos como produzca. La variante V1 requiere 25 minutos de corte, 60
minutos de ensamblaje y 68 minutos de acabado, generando un beneficio de 30
dólares. La variante V2 requiere 75 minutos de corte, 60 minutos de ensamblaje
y 34 minutos de acabado, generando 40 dólares de beneficio. Cada día se dispone
de un máximo de 450 minutos de corte, 480 minutos de ensamblaje y 476 minutos
de acabado. ¿Cuántos artículos de cada variante deben fabricarse diariamente
para maximizar los beneficios?
Sean x e y
los números de artículos de las variedades V1 y V2, respectivamente, que deben
ser fabricados diariamente para maximizar los beneficios. Dado que x e y
no pueden ser números negativos,
Los datos de corte,
ensamblaje y acabado, determinan las siguientes igualdades y desigualdades:
En un gráfico, estas
desigualdades representan áreas bajo líneas dadas.
El problema radica en
hallar los valores de x e y que maximizarán el beneficio, si
existen, siempre que cumplan las restricciones (1) a (5).
Para satisfacer las
cinco condiciones, el punto que representa x e y debe hallarse en
el límite o en el interior de la región convexa poligónica OABCD de la figura
1.
El beneficio será
máximo eligiendo la línea definida por p =30 x + 40 y,
donde p se encuentra en el máximo y sólo roza la región OABCD superior,
es decir, la línea que atraviesa el vértice B (3,5). El fabricante ingresará
los máximos beneficios (290 dólares) produciendo 3 artículos de la variedad V1
y 5 artículos de la variedad V2 al día. Cualquier otra cantidad de ambas
variantes, dadas las restricciones en cuanto al tiempo, reducirá el beneficio.
Gráficas de inecuaciones lineales con dos variables
Ejemplos
Actividades interactivas
Sistemas de inecuaciones lineales con dos variables
Ejercicios resueltos
Gráficas de inecuaciones de segundo grado
INECUACIONES
Una
inecuación es una desigualdad que
contiene incógnitas o variables.
Desigualdad: relación matemática en la que se tiene en cuenta el orden de los
números. La figura 1 muestra los símbolos utilizados para denotar una
desigualdad. Por ejemplo, la desigualdad 3 < 10 indica que el número 3 es
menor que el 10; la desigualdad x2 ≥ 0 expresa el hecho de
que el cuadrado de cualquier número real es siempre mayor o igual que cero.
Figura 1: signos de
desigualdad
Una desigualdad es la
relación entre números, ecuaciones, propiedades geométricas u otras expresiones
que tienen valores distintos entre sí. Los signos que aparecen en esta tabla se
utilizan para comparar valores de expresiones matemáticas desiguales.
Las desigualdades aparecen a menudo al
describir áreas y volúmenes. Por ejemplo, si P es un punto cualquiera de
la diagonal del cuadrado de la figura 2, entonces el área de los dos
rectángulos sombreados en azul es siempre menor o igual que (≤) el área de los
dos cuadrados sombreados en rojo.
Figura 2: superficies
desiguales
En este gráfico, los
cuadrados rojos ocupan una superficie mayor que los rectángulos azules. Si el
punto P, vértice común a las cuatro figuras, se mueve a una posición diferente
en la diagonal del cuadrado total, las cuatro áreas cambian. Sin embargo, el
área total de los cuadrados rojos es siempre mayor o igual que el área total de
los rectángulos azules.
Si una desigualdad contiene incógnitas, se
denomina inecuación. Las soluciones de una inecuación como -2x +
6 > 0 son aquellos valores de la x para los que la expresión -2x
+ 6 es mayor que cero. Las reglas de resolución de ecuaciones del álgebra se
pueden utilizar para resolver inecuaciones,
con la condición de que el sentido de la desigualdad ha de invertirse si se
multiplica o divide por números negativos. Por tanto, para resolver la
inecuación -2x + 6 > 0, primero se resta 6 de ambos lados de la
desigualdad, con lo que se obtiene -2x > -6. A continuación se
dividen ambos lados de -2x > -6 por -2, sin olvidarse de invertir el
sentido de la desigualdad pues -2 es negativo. Esto da x < 3, lo que
significa que cualquier valor de x menor que 3 es una solución de -2x
+ 6 > 0.
LA SOLUCIÓN A ESTE SISTEMA ES LA INTERSECCIÓN
DE LAS REGIONES QUE CORRESPONDEN A LA SOLUCIÓN DE CADA INECUACIÓN.
1º
Representamos la región solución de la primera inecuación.
Transformamos
la desigualdad en igualdad.
2x + y = 3
Damos a una de
las dos variables dos valores, con lo que obtenemos dos puntos.
x = 0;
2 · 0 + y = 3; y = 3;
(0, 3)
x = 1;
2 · 1 + y = 3; y = 1;
(1, 1)
Al representar y unir estos puntos obtenemos una recta.
Tomamos un punto, por ejemplo el (0, 0), los sustituimos en la desigualdad.
Si se cumple, la
solución es el semiplano donde se encuentra el punto, si no la solución será el
otro semiplano.
2x + y ≤ 3
2 · 0 + 0 ≤
3 0 ≤ 3 Sí
2º
Representamos la región solución de la segunda inecuación.
x + y = 1
x = 0;
0 + y = 1; y = 1;
(0, 1)
x = 1;
1 + y = 1; y = 0;
(1, 0)
;
x + y ≥ 1
0 + 0 ≥ 1
No
3º
La solución es la intersección de las regiones soluciones.
Inecuaciones lineales con dos incógnitas
Una inecuación lineal con dos incógnitas es
una expresión de alguna de las formas siguientes:
Las inecuaciones lineales con dos incógnitas
se resuelven gráficamente ya que las soluciones son los puntos del semiplano en
el que queda dividido el plano por la recta que corresponde a la inecuación
considerado como igualdad. Esta recta o borde del semiplano no pertenecerá o sí
a la solución según la desigualdad sea estricta o no respectivamente. Para
saber cuál de los dos semiplanos es el que da la solución bastará tomar el
origen de coordenadas (si la recta no pasa por él) o cualquier otro punto de
coordenadas sencillas y comprobar si satisface o no la desigualdad, si lo hace,
el semiplano que contiene al punto de prueba es el correcto (lo indicaremos con
una flecha señalando hacia él), en caso contrario es el otro.
Ejemplo:
Resuelve la inecuación 3x+2y+5<0
Dibujamos la recta 3x+2y+5=0 sobre unos ejes
de coordenadas y comprobamos el punto O(0,0), que da:
Luego la solución es la zona sombreada de la
figura adjunta.
Programación lineal
Programación lineal,
técnica matemática y de investigación de operaciones que se utiliza en la
planificación administrativa y económica para maximizar las funciones lineales
de un gran número de variables sujetas a determinadas restricciones (véase Álgebra;
Función; Matemáticas). El desarrollo de computadoras electrónicas y de técnicas
de procesamiento de alta velocidad ha aportado recientemente muchos avances a
la programación lineal, de forma que ahora esta técnica se utiliza extensamente
en operaciones industriales y militares.
La programación
lineal se utiliza básicamente para hallar un conjunto de valores, elegidos a
partir de un conjunto de números dado, que maximizarán o minimizarán una forma
polinómica dada (véase Binomio). En el siguiente ejemplo se muestra un
tipo particular de problema y un método para solucionarlo. Un fabricante
produce dos variantes, V1 y V2, de un artículo que contiene piezas que se deben
cortar, ensamblar y acabar. El fabricante sabe que puede vender tantos
artículos como produzca. La variante V1 requiere 25 minutos de corte, 60
minutos de ensamblaje y 68 minutos de acabado, generando un beneficio de 30
dólares. La variante V2 requiere 75 minutos de corte, 60 minutos de ensamblaje
y 34 minutos de acabado, generando 40 dólares de beneficio. Cada día se dispone
de un máximo de 450 minutos de corte, 480 minutos de ensamblaje y 476 minutos
de acabado. ¿Cuántos artículos de cada variante deben fabricarse diariamente
para maximizar los beneficios?
Sean x e y
los números de artículos de las variedades V1 y V2, respectivamente, que deben
ser fabricados diariamente para maximizar los beneficios. Dado que x e y
no pueden ser números negativos,
Los datos de corte,
ensamblaje y acabado, determinan las siguientes igualdades y desigualdades:
En un gráfico, estas
desigualdades representan áreas bajo líneas dadas.
El problema radica en
hallar los valores de x e y que maximizarán el beneficio, si
existen, siempre que cumplan las restricciones (1) a (5).
Para satisfacer las
cinco condiciones, el punto que representa x e y debe hallarse en
el límite o en el interior de la región convexa poligónica OABCD de la figura
1.
El beneficio será
máximo eligiendo la línea definida por p =30 x + 40 y,
donde p se encuentra en el máximo y sólo roza la región OABCD superior,
es decir, la línea que atraviesa el vértice B (3,5). El fabricante ingresará
los máximos beneficios (290 dólares) produciendo 3 artículos de la variedad V1
y 5 artículos de la variedad V2 al día. Cualquier otra cantidad de ambas
variantes, dadas las restricciones en cuanto al tiempo, reducirá el beneficio.
Gráficas de inecuaciones lineales con dos variables
Ejemplos
Actividades interactivas
Sistemas de inecuaciones lineales con dos variables
Ejercicios resueltos
Gráficas de inecuaciones de segundo grado
INECUACIONES
Una
inecuación es una desigualdad que
contiene incógnitas o variables.
Desigualdad: relación matemática en la que se tiene en cuenta el orden de los
números. La figura 1 muestra los símbolos utilizados para denotar una
desigualdad. Por ejemplo, la desigualdad 3 < 10 indica que el número 3 es
menor que el 10; la desigualdad x2 ≥ 0 expresa el hecho de
que el cuadrado de cualquier número real es siempre mayor o igual que cero.
Figura 1: signos de
desigualdad
Una desigualdad es la
relación entre números, ecuaciones, propiedades geométricas u otras expresiones
que tienen valores distintos entre sí. Los signos que aparecen en esta tabla se
utilizan para comparar valores de expresiones matemáticas desiguales.
Las desigualdades aparecen a menudo al
describir áreas y volúmenes. Por ejemplo, si P es un punto cualquiera de
la diagonal del cuadrado de la figura 2, entonces el área de los dos
rectángulos sombreados en azul es siempre menor o igual que (≤) el área de los
dos cuadrados sombreados en rojo.
Figura 2: superficies
desiguales
En este gráfico, los
cuadrados rojos ocupan una superficie mayor que los rectángulos azules. Si el
punto P, vértice común a las cuatro figuras, se mueve a una posición diferente
en la diagonal del cuadrado total, las cuatro áreas cambian. Sin embargo, el
área total de los cuadrados rojos es siempre mayor o igual que el área total de
los rectángulos azules.
Si una desigualdad contiene incógnitas, se
denomina inecuación. Las soluciones de una inecuación como -2x +
6 > 0 son aquellos valores de la x para los que la expresión -2x
+ 6 es mayor que cero. Las reglas de resolución de ecuaciones del álgebra se
pueden utilizar para resolver inecuaciones,
con la condición de que el sentido de la desigualdad ha de invertirse si se
multiplica o divide por números negativos. Por tanto, para resolver la
inecuación -2x + 6 > 0, primero se resta 6 de ambos lados de la
desigualdad, con lo que se obtiene -2x > -6. A continuación se
dividen ambos lados de -2x > -6 por -2, sin olvidarse de invertir el
sentido de la desigualdad pues -2 es negativo. Esto da x < 3, lo que
significa que cualquier valor de x menor que 3 es una solución de -2x
+ 6 > 0.
LA SOLUCIÓN A ESTE SISTEMA ES LA INTERSECCIÓN
DE LAS REGIONES QUE CORRESPONDEN A LA SOLUCIÓN DE CADA INECUACIÓN.
1º
Representamos la región solución de la primera inecuación.
Transformamos
la desigualdad en igualdad.
2x + y = 3
Damos a una de
las dos variables dos valores, con lo que obtenemos dos puntos.
x = 0;
2 · 0 + y = 3; y = 3;
(0, 3)
x = 1;
2 · 1 + y = 3; y = 1;
(1, 1)
Al representar y unir estos puntos obtenemos una recta.
Tomamos un punto, por ejemplo el (0, 0), los sustituimos en la desigualdad.
Si se cumple, la
solución es el semiplano donde se encuentra el punto, si no la solución será el
otro semiplano.
2x + y ≤ 3
2 · 0 + 0 ≤
3 0 ≤ 3 Sí
2º
Representamos la región solución de la segunda inecuación.
x + y = 1
x = 0;
0 + y = 1; y = 1;
(0, 1)
x = 1;
1 + y = 1; y = 0;
(1, 0)
;
x + y ≥ 1
0 + 0 ≥ 1
No
3º
La solución es la intersección de las regiones soluciones.
Inecuaciones lineales con dos incógnitas
Una inecuación lineal con dos incógnitas es
una expresión de alguna de las formas siguientes:
Las inecuaciones lineales con dos incógnitas
se resuelven gráficamente ya que las soluciones son los puntos del semiplano en
el que queda dividido el plano por la recta que corresponde a la inecuación
considerado como igualdad. Esta recta o borde del semiplano no pertenecerá o sí
a la solución según la desigualdad sea estricta o no respectivamente. Para
saber cuál de los dos semiplanos es el que da la solución bastará tomar el
origen de coordenadas (si la recta no pasa por él) o cualquier otro punto de
coordenadas sencillas y comprobar si satisface o no la desigualdad, si lo hace,
el semiplano que contiene al punto de prueba es el correcto (lo indicaremos con
una flecha señalando hacia él), en caso contrario es el otro.
Ejemplo:
Resuelve la inecuación 3x+2y+5<0
Dibujamos la recta 3x+2y+5=0 sobre unos ejes
de coordenadas y comprobamos el punto O(0,0), que da:
Luego la solución es la zona sombreada de la
figura adjunta.
Programación lineal
Programación lineal,
técnica matemática y de investigación de operaciones que se utiliza en la
planificación administrativa y económica para maximizar las funciones lineales
de un gran número de variables sujetas a determinadas restricciones (véase Álgebra;
Función; Matemáticas). El desarrollo de computadoras electrónicas y de técnicas
de procesamiento de alta velocidad ha aportado recientemente muchos avances a
la programación lineal, de forma que ahora esta técnica se utiliza extensamente
en operaciones industriales y militares.
La programación
lineal se utiliza básicamente para hallar un conjunto de valores, elegidos a
partir de un conjunto de números dado, que maximizarán o minimizarán una forma
polinómica dada (véase Binomio). En el siguiente ejemplo se muestra un
tipo particular de problema y un método para solucionarlo. Un fabricante
produce dos variantes, V1 y V2, de un artículo que contiene piezas que se deben
cortar, ensamblar y acabar. El fabricante sabe que puede vender tantos
artículos como produzca. La variante V1 requiere 25 minutos de corte, 60
minutos de ensamblaje y 68 minutos de acabado, generando un beneficio de 30
dólares. La variante V2 requiere 75 minutos de corte, 60 minutos de ensamblaje
y 34 minutos de acabado, generando 40 dólares de beneficio. Cada día se dispone
de un máximo de 450 minutos de corte, 480 minutos de ensamblaje y 476 minutos
de acabado. ¿Cuántos artículos de cada variante deben fabricarse diariamente
para maximizar los beneficios?
Sean x e y
los números de artículos de las variedades V1 y V2, respectivamente, que deben
ser fabricados diariamente para maximizar los beneficios. Dado que x e y
no pueden ser números negativos,
Los datos de corte,
ensamblaje y acabado, determinan las siguientes igualdades y desigualdades:
En un gráfico, estas
desigualdades representan áreas bajo líneas dadas.
El problema radica en
hallar los valores de x e y que maximizarán el beneficio, si
existen, siempre que cumplan las restricciones (1) a (5).
Para satisfacer las
cinco condiciones, el punto que representa x e y debe hallarse en
el límite o en el interior de la región convexa poligónica OABCD de la figura
1.
El beneficio será
máximo eligiendo la línea definida por p =30 x + 40 y,
donde p se encuentra en el máximo y sólo roza la región OABCD superior,
es decir, la línea que atraviesa el vértice B (3,5). El fabricante ingresará
los máximos beneficios (290 dólares) produciendo 3 artículos de la variedad V1
y 5 artículos de la variedad V2 al día. Cualquier otra cantidad de ambas
variantes, dadas las restricciones en cuanto al tiempo, reducirá el beneficio.
Gráficas de inecuaciones lineales con dos variables
Ejemplos
Actividades interactivas
Sistemas de inecuaciones lineales con dos variables
Ejercicios resueltos
Gráficas de inecuaciones de segundo grado
